Sabe-se que toda dinâmica uniformemente espansora ou hiperbólica transitiva não possue transição de fase com respeito aos potenciais hölder contínuos. Em se tratando de dinâmicas mais gerais, ainda é uma questão em aberto classificar todas as dinâmicas que possuem transição com respeito a uma certa classe de potenciais regulares. Em dimensão $1$, de acordo com Bomfim-Victor \cite{BC21}, todo $C^{1+\alpha}$-difeomorfismo local no círculo transitivo que não é expansor nem invertível têm uma única transição de fase temodinâmica com respeito ao potencial geométrico, em outras palavras, a função pressão topológica $\mathbb{R}\ni t\mapsto P_{top}(f,-t\log|Df|)$ é analítica exceto em um ponto $t_0\in (0,1]$. Eles também provaram transição de fase espectral, ou seja, o operador de transferência $\mathcal{L}_{f, -t\log|Df|}$ agindo no espaço das funções hölder contínuas tem gap espectral para todo $t<t_0$ e não apresenta gap spectral para $t\geq t_0$. Nosso objetivo é provar resultados similares para duas classes especiais de dinâmicas: endomorfismos de codimensão $1$ parcialmente hiperbólicos e dinâmicas monótonas por partes no círculo transitivas. Para dimensão alta, endomorfismos, provamos que os resultados de transição de fase termodinâmica e espectral implicam em análise multifractal para o espectro de Lyapunov, em particular exibimos uma clase de endomorfismo parcialmente hiperbólicos que admitem transição de fase termodinâmica e espectral com relação ao potencial geométrico na direção central e, descrevemos análise multifractal dos expoente de Lyapunov central. Para dinâmicas monótonas por partes no círculo, provamos que o conjunto do potenciais Hölder contínuous que \textbf{não} possuem transição de fase termodinâmica e espectral são densos na topologia uniforme e o conjuntos do potencias Hölder continuous que têm transição de fase \textbf{não} são densos na topologia uniforme. Também obtemos uma caracterização de transição em temos do operador de transferência e do tipo de convexidade da função pressão topológica. Em particular, descrevemos o comportamento da função pressão topológica e do operador de transferência associado.

É conhecido que toda dinâmica uniformemente expansora não admite transição de fase em relação a potenciais H\"older contínuos. Neste trabalho, nós provamos que dado um difeomorfismo local $f$ no círculo, que não seja expansor nem invertível, a função pressão geométrica $\R \ni t \mapsto P_{top}(f,-t\log|Df|)$ não é analítica. Em outras palavras, $f$ tem transição de fase com relação ao potencial geométrico. Assumindo que $f$ é transitiva e $Df$ é H\"older contínua, nós mostramos que existe $t_0 \in (0,1]$ tal que o operador de transferência $\Lo_{f,-t\log|Df|}$, agindo sobre o espaço das funções Hölder contínuas, tem a propriedade do gap espectral para todo $t< t_0$ e não tem esta propriedade para todo $t\geq t_0$. Resultados similares são obtidos quando o operador age sobre o espaço de funções com variação limitada ou funções suaves. Em particular, mostramos que no caso transitivo $f$ admite uma única transição de fase e esta acontece em $t_0$. Ademais, se a perda de expansão da dinâmica ocorre por causa de um ponto fixo indiferente ou a dinâmica admite uma probabilidade absolutamente contínua (em relação a Lebesgue) com expoente de Lyapunov positivo, então $t_0=1$. Como consequência das transições de fase termodinâmica e espectrais, nós obtemos aplicações em análise multifractal para o espectro de Lyapunov.

Neste trabalho apresentaremos alguns resultados recentes em PI-teoria sobre graduações e identidades graduadas da álgebra das matrizes triangulares superiores de ordem 2 quando esta é definida como uma álgebra de Lie. Mais precisamente, fixado um corpo K , de característica 2 (finito ou infinito), apresentaremos uma classificação das graduações de (UT2(K ),◦), a álgebra das matrizes triangulares superiores de ordem 2 sobre K munida do produto  x ◦ y = x y + yx. Exibiremos também geradores para os TG-ideais dessas graduações, bem como daremos uma resposta positiva para o problema de Specht quando consideramos a variedade das álgebras de Lie gerada por UT2(K ) em cada uma dessas graduações.

Estudamos a existência de solução e o comportamento assintótico para quatro modelos específicos: equação de ondas com memória; sistema acoplado de equações de ondas; sistema acoplado de equação de onda com a equação do calor (sistematermo-elástico) e sistema termo-elástico com fonte externa. Analisamos estes problemas sujeitos a interferência do operador monótono p-Laplaciano. Nossa abordagem apresenta os aspectos recentes no tratamento destes modelos, no âmbito de Equações Diferenciais Parciais. Neste sentido, destacamos o nosso modelo termo-elástico com p-Laplaciano. De acordo com o nosso conhecimento, esse modelo foi apresentado pela primeira vezna literatura justamente nesta tese. Para a existência de solução, utilizamos o Método de Faedo-Galerkin. Para a análise do comportamento assintótico, empregamos as distintas e recentes técnicas: na análise de estabilidade de solução foi utilizado o Teorema de M. Nakao e H. Kuwahara (1987), etambém, o Teorema de P. Martinez (1999), baseado em uma nova desigualdade que generaliza osresultados prévios de A. Haraux (1985) e M. Nakao (1978); para a análise de explosão da solução emtempo finito utilizamos o Lema de Y. Qin e J. Rivera (2004). 

Neste trabalho estudamos mapas unidimensionais de Lorenz em expansão f com o mesmo ponto singular c. Mostramos que se as órbitas de valores singulares satisfazem uma condição de lenta recorrência, então toda probabilidade invariável ergódica tem lenta recorrência à singularidade e tem expoente finito de Lyapunov. Além disso, mostramos que genericamente o singular Os valores não pertencem à bacia da sua medida SRB. Além disso, mostramos que a singularidade permite a existência de muitas medidas invariantes ergódicas com total apoio, tendo resultados positivos
entropia, recorrência rápida para a região singular e expoente infinito de Lyapunov. Além disso, consideramos uma  família padrão de dois parâmetros desses mapas e provamos que é um cone no espaço de parâmetros, no qual encontramos conjuntos de pontos nas curvas, que possui uma dimensão Hausdorff positiva, para que os mapas associados a esses pontos tenham Expoente de Lyapunov para todas as probabilidades invariáveis ergódicas, e existe uma e apenas uma estado de equilíbrio para um dado potencial Holder. 

Consideramos o passeio aleatório simétrico em tempo contı́nuo e com elo lento em Z, cujas taxas são iguais a 1/2 para todos os elos, exceto para o qual une os vértices {−1, 0}, cuja taxa associada é dada por αn −β /2, onde α > 0 e β ∈ [0, ∞] são os parâmetros do modelo. Provamos aqui um teorema central do limite funcional para o passeio aleatório com um elo lento: se β ∈ [0, 1), então ele converge para o movimento browniano usual. Se β ∈ (1, ∞], converge para o movimento browniano refletido. E no valor crı́tico β = 1, converge para o snapping out Brownian Motion (SNOB) com parâmetro κ = 2α, que é um processo do tipo browniano construı́do recentemente em 2016 por A. Lejay. Também fornecemos estimativas de Berry-Esseen na métrica dual limitada de Lipschitz para a convergência fraca de distribuições unidimensionais, que acreditamos ser finas.

O presente trabalho teve o intuito de estudar os seguintes problemas: Limite Hidrodinâmico para o SSEP com uma membrana lenta e as Flutuações fora do equilíbrio para o SSEP com um elo lento. Mais precisamente, o modelo em estudo do Limite Hidrodinâmico é o processo de exclusão simples simétrico (SSEP), no toro d-dimensional, que possui uma membrana cuja taxa de passagem $\alpha/(N^\beta)$, $\alpha>0$, é menor do que a taxa em outros elos. Devido à existência desta membrana lenta, dependendo do regime do parâmetro que regula a lentidão desta membrana, aparecem a nível macroscópico condições de fronteira. Para $\beta \in [0, 1)$, a equação hidrodinâmica é dada pela equação de calor no toro contínuo, significando que a membrana lenta não tem efeito no limite.  Para  $\beta  \in (1,\infty)$ , a equação hidrodinâmica é dada pela equação de calor com condições de bordo de Neumann, significando que a membrana divide o toro em duas regiões isoladas. E, para o valor crítico $\beta= 1$, a equação hidrodinâmica é dada pela equação de calor com condições de fronteira de Robin, relacionada com a lei de Fick. No caso das Flutuações, o modelo em estudo é o SSEP unidimensional que possui um elo lento.A grande dificuldade no trabalho das Flutuações, foi obter as estimativas precisas de probabilidades de transição de passeios aleatórios de dimensão 1 e 2.

O presente trabalho traz como objeto de estudo a minimalidade do grau dos polinômios simétrico e standard em álgebras verbalmente primas. Dito isto, determinamos o grau minimal do polinômio simétrico que o torna identidade polinomial para as álgebras M_n (E), M_(a,b) (E), e A_(a,b) (E). Para o polinômio standard, determinamos o seu grau minimal no T-ideal da álgebra M_(n,n) (E) e estabelecemos cotas para as álgebras M_n (E), M_(a,b) (E) e A_(a,b) (E) avançado os resultados de trabalhos já publicados (ALVES; SARTORI, 2015, 2017; ALVES; ASSIS, 2017). Também estudamos o grau minimal dos polinômios simétrico e standard na potência tensorial da álgebra de Grassmann E^(⊗^n )=E⊗⋯⊗E (n fatores), generalizando um resultado de Gaimbruno e Koshlukov (2001). Posteriormente, foi determinado o grau minimal do polinômio simétrico no T-ideal de E^(⊗^n ) e o grau minimal do polinômio standard no T-ideal de E^(⊗^2n ), e por fim determinamos cotas sobre o grau minimal do polinômio standard para que ele pertença ao T-ideal de E^(⊗^(2n+1) ) .

We showed the existence of singular adapted metrics for any  codimension one singular hyperbolic set  with respect to a $C^1 vector field on finite dimensional compact manifolds without using quadradic forms. Looking at the measures of a system,  we  provided a Kingman-like Theorem for an arbitrary finite measure  assuming some conditions in any metric space, and we give necessary conditions to guarantee  the existence of invariant measures in locally compact and separable metric spaces for continuous proper maps. Moreover, we use the Perron-Frobenius operator and the techniques developed here to obtain other criteria to guarantee  the existence of invariant measures for continuous maps (not necessarily a proper maps) in  locally compact separable metric spaces. 

Este trabalho fornece algumas contribuições originais para o estudo das relações entre amenidade de grafos e Sistemas Dinâmicos. No primeiro resultado principal do trabalho, caracterizamos amenidade de grafo através da extensão por grafo de uma aplicação de Markov completa, inspirado nos trabalhos de Stadlbauer e Jaerisch para extensão por grupo. Vimos que sob hipóteses suaves, o grafo é ameno se, e somente se, o raio espectral do operador de Transferência associado a extensão por grafo é igual a 1. Além disso, definimos extensão por grafo de aplicações de Markov com estrutura de Gibbs Markov embutida e de aplicações não-uniformemente expansoras, e mostramos a caracterização de amenidade de grafos através da extensão por grafo para essas classes de sistemas dinâmicos. Encerramos com duas aplicações não triviais. Primeiro, mostramos que o grafo de Schreier é ameno, se a taxa de decaimento da extensão por grafo de uma aplicação de Markov com estrutura de Gibbs-Markov embutida é igual a 1, enquanto na outra aplicação, consideramos extensão de uma aplicação de Markov completa por um semigrupo. Neste cenário, a amenidade do semigrupo é equivalente ao raio espectral do operador de Transferência igual a 1.

We study the rotation sets for homeomorphisms homotopic to the identity on the torus T d , d ≥ 2. In the conservative setting, we prove that there exists a Baire residual subset of the set Homeo0,λ(T 2 ) of conservative homeomorphisms homotopic to the identity so that the set of points with wild pointwise rotation set is a Baire residual subset in T 2 , and that it carries full topological pressure and full metric mean dimension. Moreover, we prove that, for every d ≥ 2, the rotation set of C 0 -generic conservative homeomorphisms on T d is convex. Related results are obtained in the case of dissipative homeomorphisms on tori. The previous results rely on the description of the topological complexity of the set of points with wild historic behavior and on the denseness of periodic measures for continuous maps with the gluing orbit property (on chain recurrent classes).