Geometria das equações hiperbólicas integráveis segundo Laplace ou Darboux

Geometria diferencial, Espaços de jatos, Equações diferenciais, Distribuição de Cartan, Transformações de contato, Equações hiperbólicas, Método de Darboux, Invariantes de Laplace, Transformações de Laplace.

Nesta dissertação de mestrado abordamos as equações hiperbólicas da forma F(x,y,u,u_x,u_y,u_xx,u_xy,u_yy) = 0, com o objetivo de estudar os aspectos geométricos dos métodos de Laplace e Darboux. No capítulo 1 começamos com a teoria clássica das transformações e dos invariantes de Laplace para equações hiperbólicas lineares. Nas duas primeiras seções 1.1-1.2 daquele capítulo apresentamos os preliminares necessários das congruências de restas, para construir as transformações de Laplace de superfícies imersas em R3. Sucessivamente, tendo como inspiração as transformações de superfícies, na seção 1.3 introduzimos as transformações e os invariantes de Laplace para equações hiperbólicas lineares. Prosseguindo para as duas últimas seções do capítulo 1, na seção 1.4 discutimos aspectos muito interessantes do problema de equivalência entre equações hiperbólicas lineares, enquanto que na seção 1.5 apresentamos algumas propriedades das equações que são periódicas com respeito à transformação de Laplace. Posteriormente, no capítulo 2 abordamos as equações hiperbólicas como subvariedades dos espaços de jatos. Assim, na seção 2.1 começamos o capítulo com uma breve revisão dos principais aspectos geométricos da teoria dos espaços de jatos. Seguindo para a seção 2.2, revisitamos o clássico estudo dos tipos e das características das equações diferenciais parciais da segunda ordem. Com isto, na seção 2.3 estudamos as propriedade fundamentais dos campos característicos sobre o prolongamento infinito de uma equação diferencial parcial da segunda ordem. Seguindo para a seção 2.4, introduzimos a noção de integrabilidade segundo Darboux e alguns exemplos de aplicação do método de Darboux. Posteriormente, na seção 2.5 apresentamos a linearização universal e suas formas equivalentes em termos das derivadas de Lie projetadas ao longo dos campos característicos, juntamente com as definições dos invariantes de Laplace generalizados para uma equação hiperbólica qualquer. Na seção 2.6 utilizando os invariantes de Laplace generalizados, estudamos as equações de estrutura do correferencial adaptado de Laplace, e apresentamos uma caracterização das equações Monge-Ampère hiperbólicas. Por fim, na seção 2.7 discutimos um importante critério para a integrabilidade segundo Darboux, em termos dos invariantes de Laplace generalizados.